ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55690
Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ]
[ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).


Подсказка

Рассмотрите образы точек A и M при параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{MN}$ и воспользуйтесь неравенством треугольника.


Решение

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{MN}$ точка A перейдёт в некоторую точку A1, а точка M — в точку N. Тогда

AM + MN + NB = AA1 + A1N + NB $\displaystyle \geqslant$ AA1 + A1B

(неравенство треугольника), причём равенство достигается, если точки A1, N и B лежат на одной прямой, т.е. BN || AM.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Отложим от точки A отрезок AA1, по величине равный ширине реки и перпендикулярный к её направлению, соединим точку A1 с точкой B. Точка N, полученная при пересечении A1B с более близким к B берегом реки, определит положение моста.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5504
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 1
Название Перенос помогает решить задачу
Тема Перенос помогает решить задачу
задача
Номер 15.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .