ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56906
Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.



Решение

Применим теорему Менелая к треугольникам AC1B1, C1A1B1, A1CB1 и CAB:

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{A_1B_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C}{CA}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{C_1B_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1C}{CB}}$ . $\displaystyle {\frac{BA}{AC_1}}$ = 1,    
$\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CA}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C_1}{C_1A_1}}$ = 1,        $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ = 1.    

Перемножив эти равенства, получим

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC}
\cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right.$$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC}
\cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right)^{2}_{}$ = 1.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 7
Название Теорема Менелая
Тема Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер 05.069B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .