ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57002
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30° ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что одно из чисел 1/OA1, 1/OB1 и 1/OC1 равно сумме двух других.


Решение

  Рассмотрим случай, когда точка C1 лежит на продолжении стороны AB за точку A, и докажем, что  1/OA1 = 1/OB1 + 1/OC1.

  Опустим перпендикуляры B1D, OE и A1F на AB, B1K на OE и OL на A1F. Пусть  OK = x,  OE = r,  A1L = y,  тогда     Треугольники A1OL, OB1K и OC1E подобны, поэтому достаточно доказать, что
1/A1L = 1/OK + 1/OE,  то есть что  1/y = 1/x + 1/r.
  Из подобия тех же треугольников  OL/A1L = BK/OK,  то есть     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 14
Название Задачи для самостоятельного решения
задача
Номер 05.143

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .