Информация о задаче

Задача 57016

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис.). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.

Решение

Пусть $\angle$ A = 2 $\alpha$ , $\angle$ C = 2 $\beta$ и $\angle$ BMA = 2 $\varphi$ . Согласно задаче 6.7 PK/RL = tg $\alpha$ tg $\varphi$ и LS/MC = ctg $\varphi$ tg $\beta$ . Так как PQ/RS = PK/RL и RS/AC = LS/MC, то PQ/AC = (PK/RL)(LS/MC) = tg $\alpha$ tg $\beta$ . Следовательно, трапеция APQC описанная.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.008