Условие
Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями
на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая
точки пересечения медиан двух противоположных треугольников,
перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других
треугольников.
Решение
Пусть диагонали четырехугольника
ABCD пересекаются в
точке
O;
Ha и
Hb — ортоцентры треугольников
AOB и
COD;
Ka и
Kb — середины сторон
BC и
AD;
P — середина
диагонали
AC. Точки пересечения медиан треугольников
AOD и
BOC
делят отрезки
KaO и
KbO в отношении 1 : 2, поэтому нужно
доказать, что
HaHb 
KaKb.
Так как
OHa =
AB|
ctg
| и
OHb =
CD|
ctg|,
где
=
AOB (см. задачу
5.45, б)), то
OHa :
OHb =
PKa :
PKb. Соответственные стороны углов
HaOHb
и
KaPKb перпендикулярны; кроме того, векторы
и
направлены к прямым
AB и
CD при
< 90
o и
от этих прямых при
> 90
o. Поэтому
HaOHb =
KaPKb и
HaOHb 
KaPKb. Следовательно,
HaHb KaKb.
Источники и прецеденты использования
