Информация о задаче

Задача 57039

Тема:

[

Четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD, AOB, BOC и COD равны r₁, r₂, r₃ и r₄ соответственно. Докажите, что ${\frac{1}{r_1}}$ + ${\frac{1}{r_3}}$ = ${\frac{1}{r_2}}$ + ${\frac{1}{r_4}}$ .

Решение

Пусть S = S_AOD, x = AO, y = DO, a = AB, b = BC, c = CD, d = DA; k — коэффициент подобия треугольников BOC и AOD. Тогда

$\displaystyle \aligned 2\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}\right)&= \frac{d+x+... ...2}+\frac{1}{r_4}\right)&= \frac{a+x+ky}{kS}+\frac{c+kx+y}{kS}, \endaligned$

так как S_BOC = k²S и S_AOB = S_COD = kS. Поскольку

$\displaystyle {\frac{x+y}{S}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{k^2S}}$ = $\displaystyle {\frac{x+ky}{kS}}$ + $\displaystyle {\frac{kx+y}{kS}}$ ,

остается заметить, что a + c = b + d = kd + d.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	2
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (прочее)
задача
Номер	06.028