ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57305
Тема:    [ Неравенства с медианами ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше 3/4 периметра, но меньше периметра.

Решение

Из предыдущей задачи следует  ma < (b + c)/2, mb < (a + c)/2 и  mc < (a + b)/2, поэтому сумма длин медиан меньше периметра.
Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  BO + OA > BA, AO + OC > AC и CO + OB > CB. Складывая эти неравенства и учитывая, что  AO = 2ma/3, BO = 2mb/3, CO = 2mc/3, получаем  ma + mb + mc > 3(a + b + c)/4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 1
Название Медиана треугольника
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 09.002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .