Условие
На основании
AD трапеции
ABCD нашлась точка
E,
обладающая тем свойством, что периметры треугольников
ABE,
BCE и
CDE
равны. Докажите, что тогда
BC =
AD/2.
Решение
Достаточно доказать, что
ABCE и
BCDE —
параллелограммы. Достроим треугольник
ABE до
параллелограмма
ABC1E. Тогда периметры треугольников
BC1E и
ABE
равны, поэтому равны периметры треугольников
BC1E и
BCE.
Следовательно,
C1 =
C, так как иначе один из треугольников
BC1E
и
BCE лежит внутри другого и их периметры не могут быть равны.
Поэтому
ABCE — параллелограмм. Аналогично доказывается,
что
BCDE — параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
