ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57365
Тема:    [ Ломаные внутри квадрата ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной L. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на  $ \varepsilon$. Докажите, что тогда  L $ \geq$ $ {\frac{1}{2\varepsilon }}$ - $ {\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.

Решение

Геометрическое место точек, удаленных от данного отрезка не более чем на  $ \varepsilon$, изображено на рис. Площадь этой фигуры равна  $ \pi$$ \varepsilon^{2}_{}$ + 2$ \varepsilon$l, где l — длина отрезка. Построим такие фигуры для всех N звеньев данной ломаной. Так как соседние фигуры имеют N - 1 общих кругов радиуса $ \varepsilon$ с центрами в неконцевых вершинах ломаной, то покрытая этими фигурами площадь не превосходит  N$ \pi$$ \varepsilon^{2}_{}$ + 2$ \varepsilon$(l1 + ... + ln) - (N - 1)$ \pi$$ \varepsilon^{2}_{}$ = 2$ \varepsilon$L + $ \pi$$ \varepsilon^{2}_{}$. Эти фигуры покрывают весь квадрат, так как любая точка квадрата удалена от некоторой точки ломаной меньше чем на  $ \varepsilon$. Поэтому  1 $ \leq$ 2$ \varepsilon$L + $ \pi$$ \varepsilon^{2}_{}$, т. е.  L $ \geq$ $ {\frac{1}{2\varepsilon }}$ - $ {\frac{\pi\varepsilon }{2}}$.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 8
Название Ломаные внутри квадрата
Тема Ломаные внутри квадрата
задача
Номер 09.059

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .