Информация о задаче

Задача 57365

Тема:

[

Ломаные внутри квадрата

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В квадрате со стороной 1 расположена ломаная длиной L. Известно, что каждая точка квадрата удалена от некоторой точки этой ломаной меньше чем на $\varepsilon$ . Докажите, что тогда L $\geq$ ${\frac{1}{2\varepsilon }}$ - ${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$ .

Решение

Геометрическое место точек, удаленных от данного отрезка не более чем на $\varepsilon$ , изображено на рис. Площадь этой фигуры равна $\pi$ $\varepsilon^{2}_{}$ + 2 $\varepsilon$ l, где l — длина отрезка. Построим такие фигуры для всех N звеньев данной ломаной. Так как соседние фигуры имеют N - 1 общих кругов радиуса $\varepsilon$ с центрами в неконцевых вершинах ломаной, то покрытая этими фигурами площадь не превосходит N $\pi$ $\varepsilon^{2}_{}$ + 2 $\varepsilon$ (l₁ + ... + l_n) - (N - 1) $\pi$ $\varepsilon^{2}_{}$ = 2 $\varepsilon$ L + $\pi$ $\varepsilon^{2}_{}$ . Эти фигуры покрывают весь квадрат, так как любая точка квадрата удалена от некоторой точки ломаной меньше чем на $\varepsilon$ . Поэтому 1 $\leq$ 2 $\varepsilon$ L + $\pi$ $\varepsilon^{2}_{}$ , т. е. L $\geq$ ${\frac{1}{2\varepsilon }}$ - ${\frac{\pi\varepsilon }{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	8
Название	Ломаные внутри квадрата
Тема	Ломаные внутри квадрата
задача
Номер	09.059