ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57367
Тема:    [ Ломаные внутри квадрата ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата со стороной 100 расположена ломаная L, обладающая тем свойством, что любая точка квадрата удалена от L не больше чем на 0, 5. Докажите, что на L есть две точки, расстояние между которыми не больше 1, а расстояние по L между ними не меньше 198.

Решение

Пусть M и N — концы ломаной. Будем идти по ломаной из M в N. Пусть A1 — первая из встретившихся нам точек ломаной, удаленных от какой-либо вершины квадрата на расстояние 0,5. Рассмотрим вершины квадрата, соседние с этой вершиной. Пусть B1 — первая после A1 точка ломаной, удаленная от одной из этих вершин на расстояние 0,5. Вершины квадрата, ближайшие к точкам A1 и B1, обозначим A и B соответственно (рис.). Часть ломаной от M до A1 обозначим через L1, от A1 до N — через L2. Пусть X и Y — множества точек, лежащих на AD и удаленных не более чем на 0,5 от L1 и L2 соответственно. По условию X и Y покрывают всю сторону AD. Ясно, что A принадлежит X, а D не принадлежит X, поэтому D принадлежит Y, т. е. оба множества X и Y не пусты. Но каждое из них состоит из нескольких отрезков, поэтому они должны иметь общую точку P. Следовательно, на L1 и L2 существуют точки F1 и F2, для которых  PF1 $ \leq$ 0, 5 и  PF2 $ \leq$ 0, 5.
Докажем, что F1 и F2 — искомые точки. В самом деле,  F1F2 $ \leq$ F1P + PF2 $ \leq$ 1. С другой стороны, идя в F2 из F1, мы должны пройти через точку B, а  F1B1 $ \geq$ 99 и  F2B1 $ \geq$ 99, так как точка B1 удалена от стороны BC не больше чем на 0,5, а F1 и F2 удалены от стороны AD не больше чем на 0,5.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 8
Название Ломаные внутри квадрата
Тема Ломаные внутри квадрата
задача
Номер 09.061

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .