ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57690
Тема:    [ Векторы сторон многоугольников ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна диагонали AD, CD || BE, DE || AC и  AE || BD. Докажите, что AB || CE.

Решение

Пусть диагональ BE пересекает диагонали AD и AC в точках F и G. Стороны треугольников AFE и BCD параллельны, поэтому они подобны и  AF : FE = BC : CD. Следовательно, AD : BE = (AF + BC) : (EF + CD) = BC : CD. Аналогично AE : BD = DE : AC. Из подобия треугольников BED и EGA получаем AE : DB = EG : BE = CD : BE. Итак, $ {\frac{BC}{AD}}$ = $ {\frac{CD}{BE}}$ = $ {\frac{AE}{BD}}$ = $ {\frac{DE}{AC}}$ = $ \lambda$. Ясно, что $ \overrightarrow{BC}$ + $ \overrightarrow{CD}$ + $ \overrightarrow{DE}$ + $ \overrightarrow{EA}$ + $ \overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow{0}$, $ \overrightarrow{AD}$ + $ \overrightarrow{BE}$ + $ \overrightarrow{CA}$ + $ \overrightarrow{DB}$ + $ \overrightarrow{EC}$ = $ \overrightarrow{0}$ и  $ \overrightarrow{BC}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{AD}$, $ \overrightarrow{CD}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{BE}$, $ \overrightarrow{DE}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{CA}$, $ \overrightarrow{EA}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{DB}$. Следовательно, $ \overrightarrow{0}$ = $ \lambda$($ \overrightarrow{AD}$ + $ \overrightarrow{BE}$ + $ \overrightarrow{CA}$ + $ \overrightarrow{DB}$) + $ \overrightarrow{AB}$ = - $ \lambda$$ \overrightarrow{EC}$ + $ \overrightarrow{AB}$, т. е. $ \overrightarrow{AB}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{EC}$. Поэтому AB| EC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 1
Название Векторы сторон многоугольников
Тема Векторы сторон многоугольников
задача
Номер 13.010

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .