ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58051
Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника взята точка P. Докажите, что наибольшее из расстояний от точки P до вершин этого треугольника меньше удвоенного наименьшего из расстояний от P до его сторон.

Решение

Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на стороны BC, CA и AB и выберем наибольший из углов, образованных этими перпендикулярами и лучами PA, PB и PC. Пусть для определенности это будет угол APC1. Тогда $ \angle$APC1$ \ge$60o, поэтому PC1 : AP = cos APC1$ \le$cos 60o = 1/2, т. е. AP$ \ge$2PC1. Ясно, что неравенство сохранится, если AP заменить на наибольшее из чисел AP, BP и CP, а PC1 — на наименьшее из чисел PA1, PB1 и PC1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 20
Название Принцип крайнего
Тема Принцип крайнего
параграф
Номер 1
Название Наименьший или наибольший угол
Тема Наименьший или наибольший угол
задача
Номер 20.006

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .