Задача 58143

Тема:    [ Теорема Хелли ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

Решение

а) Для каждой стороны AB данного многоугольника рассмотрим полосу, ограниченную перпендикулярами к прямой AB, проведёнными через точки A и B. К этому набору выпуклых фигур добавим ещё и сам многоугольник. По условию любые три из этих фигур имеют общую точку. Поэтому по теореме Хелли все они имеют общую точку.
б) Пусть ABCD — данный выпуклый четырёхугольник. Согласно задаче а) достаточно проверить, что требуемую точку O можно выбрать для любых трёх его сторон. Докажем, например, что её можно выбрать для сторон AB, BC и CD. Пусть X — множество всех точек четырёхугольника, для которых основания перпендикуляров, опущенных на стороны AB и CD, лежат на самих этих сторонах. По условию это множество не пусто. Рассмотрим три случая.
1) Углы B и C оба не тупые. Тогда нам подходит любая точка множества X.
2) Углы B и C оба тупые. Тогда нам подходит точка пересечения перпендикуляров к AB и CD, восставленных из точек B и C.
3) Угол B не тупой, а угол C тупой. Тогда нам подходит любая точка множества X, лежащая на перпендикуляре к прямой CD, восставленном из точки C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	5
Название	Теорема Хелли
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.014B