Условие
Дано несколько параллельных отрезков, причем
для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая.
Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.
Решение
Введем систему координат с осью
Oy, параллельной данным
отрезкам. Для каждого отрезка рассмотрим множество всех таких точек
(
a,
b), что прямая
y =
ax +
b его пересекает. Достаточно проверить,
что эти множества выпуклые, и применить к ним теорему Хелли. Для
отрезка с концами (
x0,
y1) и (
x0,
y2) рассматриваемое
множество является полосой, заключенной между параллельными
прямыми
ax0 +
b =
y1 и
axo +
b =
y2.
Источники и прецеденты использования
