ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 58311
УсловиеДокажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.РешениеДоказательство проведем индукцией по n. При n = 3 утверждение очевидно. Предположим, что мы доказали его для n - 1 точки и докажем его для n точек. Если на каждой прямой, проходящей через две данные точки, лежит еще одна данная точка, то все данные точки лежат на одной прямой (см. задачу 20.13). Поэтому существует прямая, на которой лежат ровно две данные точки A и B. Выбросим точку A. Возможны два случая.1. Все оставшиеся точки лежат на одной прямой l. Тогда будет ровно n различных прямых: n - 1 прямая, проходящая через A, и прямая l. 2. Оставшиеся точки не лежат на одной прямой. Тогда среди прямых, их соединяющих, по предположению индукции есть не менее n - 1 различных, причем все они отличны от прямой l. Вместе с прямой AB они составляют не менее n прямых. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|