ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58360
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

Решение

Нам надо доказать, что если A', B', C' — образы точек A, B, C при растяжении относительно прямой l с коэффициентом k и точка C лежит на прямой AB, то точка C' лежит на прямой A'B'. Пусть $ \overrightarrow{AC}$ = t$ \overrightarrow{AB}$. Обозначим через A1, B1, C1 проекции точек A, B, C на прямую l, и пусть a = $ \overrightarrow{A_1A}$, b = $ \overrightarrow{B_1B}$, c = $ \overrightarrow{C_1C}$, a' = $ \overrightarrow{A_1A'}$, b' = $ \overrightarrow{B_1B'}$, c' = $ \overrightarrow{C_1C'}$, x = $ \overrightarrow{A_1B_1}$, y = $ \overrightarrow{A_1C_1}$. Из того, что при проекции на прямую l сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что y = tx и  y + (c - a) = t(y + (b - a)). Вычитая первое равенство из второго, получаем (c - a) = t(b - a). По определению растяжения a' = ka, b' = kb, c' = kc, поэтому $ \overrightarrow{A'C'}$ = y + k(c - a) = tx + k(t(b - a)) = t(x + k(b - a)) = t$ \overrightarrow{A'B'}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .