ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58363
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если L — аффинное преобразование, то
а) L($ \overrightarrow{0}$) = $ \overrightarrow{0}$;
б) L(a + b) = L(a) + L(b);
в) L(ka) = kL(a).

Решение

a) L($ \overrightarrow{0}$) = L($ \overrightarrow{AA}$) = $ \overrightarrow{L(A)L(A)}$ = $ \overrightarrow{0}$.
б) L($ \overrightarrow{AB}$ + $ \overrightarrow{BC}$) = L($ \overrightarrow{AC}$) = $ \overrightarrow{L(A)L(C)}$ = $ \overrightarrow{L(A)L(B)}$ + $ \overrightarrow{L(B)L(C)}$ = L($ \overrightarrow{AB}$) + L($ \overrightarrow{BC}$).
в) Предположим сначала, что число k целое. Тогда

L(ka) = L($\displaystyle \underbrace{\boldsymbol{a}+\ldots+\boldsymbol{a}}_{k}^{}\,$) = $\displaystyle \underbrace{L(\boldsymbol{a})+\ldots+L(\boldsymbol{a})}_{k}^{}\,$ = kL(a).


Пусть теперь k = m/n — рациональное число. Тогда nL(ka) = L(nka) = L(ma) = mL(a), поэтому L(ka) = mL(a)/n = kL(a). Наконец, если k — любое действительное число, то всегда найдется последовательность kn рациональных чисел, сходящаяся к k (например, последовательность десятичных приближений k). Поскольку L непрерывно, то

L(ka) = L($\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$kna) = $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$knL(a) = kL(a).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.004

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .