Информация о задаче

Задача 58363

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если L — аффинное преобразование, то
а) L( $\overrightarrow{0}$ ) = $\overrightarrow{0}$ ;
б) L(a + b) = L(a) + L(b);
в) L(ka) = kL(a).

Решение

a) L( $\overrightarrow{0}$ ) = L( $\overrightarrow{AA}$ ) = $\overrightarrow{L(A)L(A)}$ = $\overrightarrow{0}$ .
б) L( $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ ) = L( $\overrightarrow{AC}$ ) = $\overrightarrow{L(A)L(C)}$ = $\overrightarrow{L(A)L(B)}$ + $\overrightarrow{L(B)L(C)}$ = L( $\overrightarrow{AB}$ ) + L( $\overrightarrow{BC}$ ).
в) Предположим сначала, что число k целое. Тогда

L(ka) = L( $\displaystyle \underbrace{\boldsymbol{a}+\ldots+\boldsymbol{a}}_{k}^{}\,$ ) = $\displaystyle \underbrace{L(\boldsymbol{a})+\ldots+L(\boldsymbol{a})}_{k}^{}\,$ = kL(a).

Пусть теперь k = m/n — рациональное число. Тогда nL(ka) = L(nka) = L(ma) = mL(a), поэтому L(ka) = mL(a)/n = kL(a). Наконец, если k — любое действительное число, то всегда найдется последовательность k_n рациональных чисел, сходящаяся к k (например, последовательность десятичных приближений k). Поскольку L непрерывно, то

L(ka) = L( $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$ k_na) = $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{}$ k_nL(a) = kL(a).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.004