ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58376
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

Решение

Пусть e1 и e2 — векторы единичной длины на данных прямых l1 и l2. Сжатие с коэффициентом 1/2 в направлении прямой l1 переводит вектор $ \lambda$e1 + $ \mu$e2 в вектор $ \lambda$e1 + $ {\frac{\mu}{2}}$e2. Пусть $ \varphi$ -- угол между векторами e1 и e2. Длина первого вектора равна $ \lambda^{2}_{}$ + $ \mu^{2}_{}$ + 2$ \lambda$$ \mu$cos$ \varphi$, а длина второго вектора равна $ \lambda^{2}_{}$ + $ {\frac{\mu^2}{4}}$ + $ \lambda$$ \mu$cos$ \varphi$. Нужно выбрать числа $ \lambda$ и $ \mu$ так, что $ \lambda^{2}_{}$ + $ {\frac{\mu^2}{4}}$ + $ \lambda$$ \mu$cos$ \varphi$ > $ \lambda^{2}_{}$ + $ \mu^{2}_{}$ + 2$ \lambda$$ \mu$cos$ \varphi$, т.е. $ {\frac{3}{4}}$$ \mu^{2}_{}$ < - $ \lambda$$ \mu$cos$ \varphi$. При $ \mu$ = 1 это неравенство эквивалентно неравенству $ {\frac{3}{4}}$ < - $ \lambda$cos$ \varphi$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.013B3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .