Информация о задаче

Задача 58538

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любой коники можно выбрать многочлены A(t), P(t) и Q(t) так, что при изменении t от - $\infty$ до + $\infty$ точки $\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right.$ ${\frac{P(t)}{A(t)}}$ , ${\frac{Q(t)}{A(t)}}$ $\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)},\frac{Q(t)}{A(t)}}\right)$ заметают всю данную конику, кроме, быть может, одной точки.

Решение

Фиксируем на данной конике точку (x₀, y₀). Для фиксированного t рассмотрим прямую y = y₀ + t(x - x₀). Эта прямая проходит через точку (x₀, y₀). Найдём остальные точки пересечения прямой и коники (как мы сейчас выясним, почти всегда прямая пересекает конику еще ровно в одной точке). Подставим выражение y = y₀ + t(x - x₀) в уравнение коники. В результате получим уравнение вида A(t)x² + B(t)x + C(t) = 0, где A(t), B(t), C(t) — многочлены; например A(t) = ct² + a. Точки пересечения рассматриваемой прямой и коники соответствуют корням полученного квадратного уравнения. Одну точку пересечения мы знаем — это фиксированная точка (x₀, y₀). Поэтому уравнение A(t)x² + B(t)x + C(t) = 0 имеет корень x₀. Второй корень мы находим по теореме Виета: x₁ = - x₀ - ${\frac{B(t)}{A(t)}}$ = ${\frac{P(t)}{A(t)}}$ ; здесь P(t) — снова многочлен. Далее, y = y₀ + t $\left(\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)}-x_0}\right.$ ${\frac{P(t)}{A(t)}}$ - x₀ $\left.\vphantom{\frac{P(t)}{A(t)}-x_0}\right)$ = ${\frac{Q(t)}{A(t)}}$ , где Q(t) — многочлен.
Мы получили взаимно однозначное соответствие между точками коники и параметром t (тангенсом угла наклона прямой) за исключением некоторых особых случаев.
1) Вертикальная прямая может пересекать конику, но ей не соответствует никакой конечный параметр t (можно считать, что ей соответствует t = ± $\infty$ ).
2) Для исключительных значений параметра t коэффициент A(t) = ct² + a может обращаться в нуль. В таком случае квадратное уравнение превращается в линейное уравнение, у которого нет второго корня. В этом случае прямая пересекает конику лишь в одной точке (можно считать, что вторая точка пересечения бесконечно удаленная).
Отметим, что совпадение корней квадратного уравнения соответствует тому, что рассматриваемая прямая — касательная к конике.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	7
Название	Рациональная параметризация
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.071