Задача 60500

Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

По окружности радиуса 40 катится колесо радиуса 18. В колесо вбит гвоздь, который ударяясь об окружность, оставляет на ней отметки. Сколько всего таких отметок оставит гвоздь на окружности? Сколько раз прокатится колесо по всей окружности, прежде чем гвоздь попадёт в уже отмеченную ранее точку?

Решение

Пусть  l = 4π.  Длина большой окружности равна 20l, а малой – 9l. В отмеченную ранее точку гвоздь попадёт, когда малая окружность прокатится по дуге длины  НОД(20, 9)l = 180l,  то есть 9 раз прокатится по большой окружности. При этом он оставит  180 : 9 = 20  отметок.

Ответ

20 отметок, 9 оборотов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.048