ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60514
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b, c – целые числа, причем  (a, b) = 1.  Пусть  (x0, y0)  – некоторое целочисленное решение уравнения  ax + by = c.
Докажите, что все решения этого уравнения в целых числах получаются по формулам  x = x0 + kb,  y = y0ka,  где k – произвольное целое число.


Решение

Для любого решения  (x, y)  имеем  a(x – x0) + b(y – y0) = 0.  Отсюда видно, что  x – x0  кратно b, то есть  x = x0 + kb.  Подставляя, получим
kab = – b(y – y0),  откуда  y = y0ka.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 2
Название Алгоритм Евклида
Тема Алгоритм Евклида
задача
Номер 03.062

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .