Задача 60521

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите равенства
  а)  [1, 2,..., 2n] = [n + 1, n + 2, ..., 2n];
  б)  (a₁, a₂, ..., a_n) = (a₁, (a₂, ..., a_n));
  в)  [a₁, a₂, ..., a_n] = [a₁, [a₂, ..., a_n]].

Решение

  а) Пусть  1 ≤ k ≤ n.  Найдётся такое натуральное m, что  n < 2^mk ≤ 2n.  Значит,  [n + 1, ..., 2n]  делится на k, поскольку делится на 2^mk.

  б) Множество общих делителей чисел a₁, a₂, ..., a_n совпадает с множеством общих делителей чисел a₁ и  (a₂, ..., a_n).

  в) Доказывается аналогично б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.069