ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60931
Темы:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть  f(x) = x² + px + q.  При каких p и q выполняются равенства  f(p) = f(q) = 0?


Решение

  Первый способ. Из условия  2p² + q = q² + pq + q = 0.  Отсюда  2p² – pq – q² = (2p + q)(p – q) = 0.
  При  p = q  получаем  2p² + p = 0,  то есть  p = 0  или  p = – 1/2.
  При  q = – 2p  получаем  2p² – 2p = 0,  то есть  p = 0  или  p = 1.

  Второй способ. Рассмотрим два случая.
  1) p и qразличные корни уравнения. Тогда по теореме Виета  p + q = – ppq = q.  Если  q = 0,  то  p = 0,  что не соответствует разбираемому случаю. Значит,  p = 1,  q = – 2.
  2)  p = q.  Тогда  2p² + p = 0,  откуда  p = q = 0  или  p = q = – 1/2.


Ответ

(0, 0),  (– ½, – ½),  (1, – 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 1
Название Квадратный трехчлен
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .