Информация о задаче

Задача 61245

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных условий 0 < $\alpha$ < $\pi$ , 0 < $\beta$ < $\pi$ , 0 < $\gamma$ < $\pi$ , a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3 ).

Решение

Из первых двух равенств системы (8.4 ) находим:

b = $\displaystyle {\dfrac{c(\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin^2\gamma}}$ , a = $\displaystyle {\dfrac{c(\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma}{\sin^2\gamma}}$ .

После подстановки этих равенств в третье уравнение системы, приходим к соотношению

1 - cos² $\displaystyle \alpha$ - cos² $\displaystyle \beta$ - cos² $\displaystyle \gamma$ - 2 cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \gamma$ = 0.

Отсюда cos $\alpha$ + cos $\beta$ cos $\gamma$ = sin $\alpha$ sin $\beta$ , cos $\beta$ + cos $\alpha$ cos $\gamma$ = sin $\alpha$ sin $\gamma$ , $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ , a sin $\gamma$ = c sin $\alpha$ , b sin $\gamma$ = c sin $\beta$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.084