Задача 61424

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Симметрические многочлены ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 5- Классы: 10,11 Название задачи: Неравенство Мюрхеда.

Условие

Пусть  α = (α₁, ..., α_n)  и  β = (β₁, ..., β_n)  – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если  α ≠ β,  то при всех неотрицательных  x₁, ..., x_n  выполняется неравенство  T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Решение

Очевидно, достаточно доказать неравенство в случае, когда набор β получается из набора α сбрасыванием одного "кирпича" на диаграмме Юнга. Проведём доказательство для случая, когда делается переход от  β = (α₁ – 1, α₂ + 1, α₃, ..., α_n)  к  α = (α₁, α₂, α₃, ..., α_n),  где  α₁ – α₂ ≥ 2.  При этом каждый одночлен вида    заменяется одночленом вида    Для доказательства неравенства  T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n)  сгруппируем все одночлены, входящие в данное неравенство, парами:     и проверим, что разность таких пар всегда неотрицательна. Действительно,      поскольку  α₁ – 1 > α₂  и разность    имеет тот же знак, что и  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	4
Название	Симметрические неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.073