ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64399
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.


Решение 1

  Пусть K – вторая точка пересечения ω1 и ω2 (см. рис.). Достаточно показать, что  ∠OKX = 90°.

  По условию треугольники AOB и COD равнобедренные. Пусть α и β – углы при их основаниях соответственно. Тогда, по свойству вписанных углов, имеем  ∠BKC = ∠BKO + ∠CKO = ∠BAO + ∠CDO = α + β.  Учитывая, что четырёхугольник ACBD вписанный, имеем:
BCK = 180° – ∠XBC – ∠XCB = 180° – ∠CAD – ∠ADB = 180° – ½ (⌣AB + ⌣CD),  где  ⌣AB  и  ⌣CD  – дуги окружности с центром O,  ⌣AB = 180° – 2α,  ⌣CD = 180° – 2β.  Следовательно,  ∠BXC = ∠BKC,  то есть четырёхугольник BXKC вписанный. Значит,  ∠XKB = ∠XCB = 180° – ACB = 90° – α.
  Таким образом,  ∠OKX = ∠BKX + ∠BKO = 90°,  что и требовалось доказать.
  Случай, когда точки C и D меняются местами, рассматривается аналогично.


Решение 2

  Пусть OP и OQ – диаметры ω1 и ω2 (см. рис.). Докажем, что точка X лежат на прямой PQ.

  При инверсии относительно окружности ω окружность ω1 перейдёт в прямую AB, а ω2 – в CD, следовательно, точка K перейдёт в точку S пересечения AB и CD. Кроме того,  PQOS,  то есть PQ – поляра точки S относительно окружности ω. С другой стороны, X (как точка пересечения AC и BD) также лежит на поляре точки S. Следовательно, X принадлежит PQ.

Замечания

Определение и свойства поляры см., например, Я.П. Понарин. «Элементарная геометрия», том 1, §18.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .