ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64588
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.


Решение

  Треугольники BAP и CDP подобны по двум углам, поэтому подобны и их "половинки" KAP и MDP. Следовательно,  ∠APK = ∠DPM.
  KL || AC,  ML || BD,  значит,  ∠LKP = ∠APK = ∠DPM = ∠LMP.
  Итак, углы LKP и LMP, опирающиеся на отрезок LP, равны. Значит, и радиусы описанных окружностей треугольников PKL и PLM равны. Остальные равенства доказываются аналогично.

Замечания

1. 6 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" (Квант, 2008, №2, зад. М2082).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .