ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64884
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.


Решение

  Рассмотрим точку R пересечения BC и AD и центр I окружности ω. Прямая IR пересекает отрезок EF в его середине R'. При этом R' – образ точки R при инверсии относительно ω (см. задачу 58326). Опустим перпендикуляр RS' на IS. Так как прямая EF проходит через S, то прямоугольные треугольники IRS' и ISR' подобны. Следовательно, S' – образ точки S при инверсии относительно ω, то есть R лежит на одной прямой с двумя другими точками касания P и Q окружности со сторонами четырёхугольника.
  Пусть прямая EE1 пересекает AD в точке M. Рассмотрим три окружности: ω, Ω и описанную окружность Ω3 треугольника AID. Заметим, что радикальная ось Ω3 и ω является средней линией треугольника FPQ. Действительно, рассмотрим середины U, V отрезков FP, AI и центр O окружности Ω3. Степень точки U относительно ω равна  UI² – FI² = – UF²  и относительно Ω3 такая же:
UO² – AO² = UV² + VO² – AO² = UV² – AV² = UV² – FV² = – UF²,   то есть U лежит на радикальной оси. То же верно для середины отрезка FQ.
  Так как две другие радикальные оси пересекаются в точке M,  RM = MF (см. рис.).

  Аналогично FF1 пересекает BC в середине N отрезка RE. Следовательно, прямые EE1 и FF1 симметричны относительно биссектрисы угла ERF. Значит, точки E1 и F1 также симметричны и EFF1E1 – равнобокая трапеция.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
тур
задача
Номер 21

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .