|
|
 |
Условие
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
Решение
Пусть хорды CX и DE пересекаются в точке M (см. рис.). По условию ⌣BD = ⌣EX.
Первый способ. ∠BCD = ∠ECX. Кроме того, из равенства углов ABD и AEB следует подобие треугольников ABD и AEB и, значит, равенство
BD : BE = AD : AB. Аналогично CD : CE = AD : AB, то есть BD·CE = CD·BE = ½ BC·DE (последнее равенство следует из теоремы Птолемея).
Треугольники CBD и CME подобны, следовательно, BD·CE = CB·EM. Отсюда и из предыдущего равенства получаем, что EM = ½ ED.
Второй способ. Пусть O – центр окружности. ∠COB = ⌣CB = ⌣CD + ⌣DB = ⌣CD + ⌣EX = 2∠CMD. Отсюда ∠COA = ½ ∠COB = ∠CMD, поэтому точки A, C, M, O лежат на одной окружности. Следовательно, ∠AMO = ∠ACO = 90°, значит, DM = ME.
