ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65076
Темы:    [ Средние величины ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  p1 = 2,  p2 = 3,  ... .
Может ли среднее арифметическое     при каком-нибудь  n ≥ 2  быть простым числом?


Решение

Пусть  p1 + ... + pn = nq   (*),  где q – простое число. Поскольку  n > 1,  то  q > 2.  Поэтому при чётном n левая часть равенства (*) нечётна, а правая – чётна, при нечётном n – наоборот. Противоречие.


Ответ

Не может.

Замечания

Фактически доказано более сильное утверждение: подобное среднее арифметическое не может быть нечётным.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .