Задача 65462

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если
  а)  k = 9;   б)  k = 8?

Решение

  а) Удалим числа 1, 2, ..., 9. Тогда сумма даже девяти наименьших из оставшихся чисел  (10 + 11 + ... + 18 = 126)  больше 100.

  б) Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25:  (1, 24),  (2, 23),  ...,  (12, 13).  После удаления 8 чисел останется не меньше четырёх нетронутых пар. Они и дадут в сумме 100.

Ответ

а) Необязательно;  б) обязательно.

Замечания

Баллы: 2 + 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2