ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65555
Темы:    [ Треугольники (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.


Решение

В неравнобедренном треугольнике подходят точка пересечения высот, точка пересечения биссектрис и центр описанной окружности (эти точки различны, так как сторона, лежащая против угла, отличного от 60°, видна из них под разными углами). В равнобедренном треугольнике подойдут любые три точки на высоте, из которых основание видно под "рациональными" углами (боковые стороны, ввиду симметрии, видны под равными углами, значит, и эти углы "рациональны").

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .