ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65694
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Обухов Б.

Дан равнобедренный треугольник ABC,  AB = BC.  В окружности Ω, описанной около треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая, проходящая через точку C' параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка C'P.


Решение

Так как CC' – диаметр Ω, имеем  ∠C'AC = 90°.  Поскольку  MP || BC,  получаем  ∠MPA = ∠C = ∠A.  Значит, треугольник AMP – равнобедренный, и поэтому его высота MD является и медианой. Так как  AD = DP  и  AC' || DM,  то DM – средняя линия треугольника C'AP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .