ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65741
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и  a/c×b  (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)


Решение

  Назовём ковёр, все стороны которого больше 1, большим, а ковёр, все стороны которого меньше 1, – маленьким. Таким образом, изначально у путешественника был один большой ковёр. Докажем, что общее число больших и маленьких ковров у путешественника не уменьшается; отсюда следует, что описанная ситуация невозможна. Для этого достаточно рассмотреть только случай, когда путешественник отдаёт меняле большой или маленький ковёр.
  При обменах первого вида большой ковёр меняют на маленький, а маленький – на большой. Поэтому общее количество больших и маленьких ковров не уменьшается. Рассмотрим обмены второго вида. При обмене большого ковра a×b путешественник получит ковры a1×b и a2×b, причём  a1a2 = a.  Поскольку
a > 1  и  b > 1,  то хотя бы один из новых ковров будет большим. Аналогично при обмене маленького ковра хотя бы один из новых ковров будет маленьким. Значит, при таком обмене общее количество больших и маленьких ковров также не уменьшается.


Ответ

Обманывает.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .