Задача 65852

Темы:    [ Многоугольники (прочее) ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

Решение

Проведём в 100-угольнике A₁...A₁₀₀ пятьдесят диагоналей A₁A₄, A₃A₆, ..., A₉₉A₂. Каждая из них пересекает только две соседние, причём в разных точках (эти две соседние диагонали между собой не пересекаются). Полученные 50 точек пересечения и будут искомыми.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1