ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65860
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Взяли пять натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму. Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами?


Решение 1

Пусть взяли x чётных чисел и y нечётных  (x + y = 5).  Тогда нечётных сумм оказалось xy. Если бы все суммы оканчивались разными цифрами, то xy было бы равно 5, тогда  x + y  должно было бы равняться 6.


Решение 2

Рассмотрим сумму S полученных десяти сумм. Если эти суммы оканчиваются на десять разных цифр, то число S нечётно. Но каждое из исходных пяти чисел входит в четыре суммы, поэтому число S чётно. Противоречие.


Ответ

Не могло.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .