ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65865
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?


Решение 1

Пусть вершины парабол – точки  (a, b)  и  (c, d)  соответственно. Тогда уравнения парабол:  y = p(x – a)2 + b  и  y = q(x – c)2 + d.  Принадлежность вершин записывается условиями:  d = p(c – a)2 + b  и  b = q(a – c)2 + d.  Складывая их и сокращая, получим  (p + q)(a – c)2 = 0.  Если  a = c,  то и  b = d,  а вершины различны. Поэтому  p + q = 0.


Решение 2

Пусть A и B – вершины парабол. Рассмотрим третью параболу, симметричную первой относительно середины отрезка AB. Она имеет вершину B и содержит точку A. Поскольку парабола однозначно определяется своей вершиной и ещё одной точкой, третья парабола совпадает со второй. Значит, старшие коэффициенты исходных парабол отличаются только знаком.

Ответ

0.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2016/17
Номер 38
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .