ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65928
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны a и b. Найдите его площадь.


Решение

  Пусть  b > a.

  Первый способ. Обозначим длину двух равных сторон через x. Продолжим их до пересечения и обозначим длины двух получившихся коротких отрезков через y и z (рис. слева).

  Площадь S исходного четырёхугольника есть разность площадей двух прямоугольных треугольников: с катетами  x + y  и  x + z  и с катетами y и z. Поэтому  2S = (x + y)(x + z) – yz = x² + xy + xz.
  По теореме Пифагора  y² + z² = a²,  (x + y)² + (x + z)² = b².  Поэтому  b² – a² = 2x² + 2xy + 2xz = 4S.
  Второй способ. Из четырёх таких многоугольников можно сложить квадрат со стороной b из которого вырезан квадрат со стороной a (рис. справа). Поэтому площадь одного многоугольника равна  ¼ (b² – a²).


Ответ

¼ |b² – a²|.

Замечания

Утверждение остаётся верным, даже если отказаться от условия выпуклости.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2016
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .