ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65978
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У аптекаря есть три гирьки, с помощью которых он одному покупателю отвесил 100 г йода, другому – 101 г мёда, а третьему – 102 г перекиси водорода. Гирьки он ставил всегда на одну чашу весов, а товар – на другую. Могло ли быть так, что каждая гирька легче 90 г?


Решение

Подойдут гирьки с весами 49,5 г, 50,5 г и 51,5 г.


Ответ

Могло.

Замечания

  1. Докажем, что этот пример – единственный.
  Ни в одном из взешиваний не участвовала ровно одна гирька: иначе её вес был бы больше 90 г.
  Если в каком-то взвешивании участвовали все три гирьки, то это могло быть только третье взвешивание, то есть сумма весов всех гирек равна 102 г. Тогда, чтобы аптекарь мог получить 100 г и 101 г, одна из гирек должна весить 1 г, а другая – 2 г. Значит, оставшаяся гирька весит 99 г, что нам не подходит.
  Следовательно, в каждом взвешивании участвовали ровно по две гирьки, притом каждый раз – разные. Значит, удвоенный вес всех гирек равен  100 + 101 + 102 = 303 г,  то есть сумма весов трёх гирек равна 151,5 г. Поэтому вес самой лёгкой гирьки равен  151,5 − 102 = 49,5 г,  вес следующей –  151,5 − 101 = 50,5 г,  а вес самой тяжёлой –  151,5 − 100 = 51,5 г.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2017
класс
Класс 7
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .