ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66162
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Число x таково, что обе суммы  S = sin 64x + sin 65x  и  C = cos 64x + cos 65x  – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.


Решение

Заметим. что число  S2 + C2 = (sin264x + cos264x) + (sin265x + cos265x) + 2(sin 64x sin 65x + cos 64x cos 65x) = 2 + 2cos(65x – 64x) = 2 + 2cos x  рационально, откуда  cos x  – также рациональное число. Ввиду формулы  cos 2a = 2cos2a – 1,  все числа вида  cos 2ka  также рациональны – в частности,  cos 64x.  Поскольку C рационально, то и второе слагаемое в этой сумме также рационально.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .