Задача 66217

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

На окружности радиуса R с диаметром AD и центром O выбраны точки B и С по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников ABO и CDO описаны окружности, пересекающие отрезок BC в точках F и E. Докажите, что  AF·DE = R².

Решение

  Из вписанности четырёхугольника ABFO и равенства  AO = OB  получаем (см. рис.)
AF : R = AF : AO = sin∠AOF : sin∠ABO = sin∠ABF : sin∠ABO = sin∠ABC : sin∠BAD.

  Аналогично  DE : R = sin∠BCD : sin∠CDA.  Так как четырёхугольник ABCD вписанный, произведение этих отношений равно 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	14