ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66383
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.


Решение

Первое решение. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. При симметрии относительно этой оси K переходит в C, а D переходит в A (см. левый рис.). Значит, AC образует тот же угол с основанием, что и диагональ квадрата KD, т. е. 45°. Но AB тоже образует с основанием угол 45°, как диагональ меньшего квадрата. Значит, точки A, B и C действительно лежат на одной прямой.

Второе решение (без использования симметрии). Введём обозначения так, как показано на рисунке справа и проведём отрезки AB и BC. Так как ∠ABH = 45°, достаточно доказать, что ∠KBC = ∠BCK = 45° (тогда ∠ABH + ∠HBK + ∠KBC = 45° + 90° + 45° = 180°, что равносильно утверждению задачи).

Используя равенство соответственных углов при параллельных прямых и равнобедренность треугольника AGD, получим: ∠GKC = ∠GAD = ∠GDA = ∠GCK. Следовательно, GK = GC, поэтому AK = CD. Значит, равны прямоугольные треугольники AKF и CDE (по гипотенузе и катету). Следовательно, CE = AF = BF, тогда BK = CK, откуда ∠KBC = ∠BCK = 45°, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2018
класс
Класс 7
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .