Условие
К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.
Решение
Абсцисса $x_0$ любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству $\cos x_0=a\tan x_0$. В этой точке касательная к графику функции $y=\cos x$ имеет угловой коэффициент $k_1=-\sin x_0$, а касательная к графику функции $y=a\tan x$ имеет угловой коэффициент $k_2=\frac{a}{\cos^2 x_0}$. Поскольку $k_1k_2=-\frac{a\tan x_0}{\cos x_0}=-1$, эти касательные перпендикулярны друг другу.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
Номер |
86 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
