Условие
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.
Решение 1
Пусть прямая, проходящая через $D'$ и перпендикулярная $A'D'$, пересекает $AB$ и $AC$ в точках $F'$, $G'$ соответственно. Так как $\angle AEA'=90^{\circ}$, $AF=FF'$, $AG=GG'$ и $\angle FOG=\angle F'A'G'$. Так как $\angle ABA'=\angle ACA'=90^{\circ}$, четырехугольники $A'BF'D'$ и $A'G'CD'$ – вписанные, следовательно, $\angle F'A'G'=\angle F'A'D'+\angle D'A'G'=\angle ABD'+\angle D'CA=\angle CD'B-\angle CAB=180^{\circ}-2\angle CAB$.
Решение 2
Условие $\angle FOG+\angle BOC=\pi$ равносильно существованию точки, изогонально сопряженной $O$ относительно четырехугольника $BFGC$, или тому, что проекции $O$ на стороны четырехугольника лежат на одной окружности. Поскольку $FG\parallel AE$, проекция $O$ на $FG$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$, т.е. совпадает с серединой $AD'$. Но точка $D'$ лежит на окружности $BCH$ ($H$ – ортоцентр треугольника $ABC$), которая при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $1/2$ переходит в окружность девяти точек треугольника $ABC$.
Замечания
Так как точки $O$ и $H$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$, они являются фокусами вписанного в треугольник эллипса. Прямая $FG$ также касается этого эллипса, поэтому проекция $H$ на $FG$ лежит на окружности девяти точек, а $\angle FHG=\angle BAC$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2023 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
10.3 |
