Задача 76423

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Решить систему уравнений:
  x² + y² – 2z² = 2a²,
  x + y + 2z = 4(a² + 1),
  z² – xy = a².

Решение

(4(a² + 1) – 2z)² = (x + y)² = x² + y² + 2xy = 2z² + 2a² + 2(z² – a²) = 4z²,  откуда  16(a² + 1)² = 16(a² + 1)z,  то есть  z = a² + 1.  Теперь второе и третье уравнения записываются так:
    x + y = 2(a² + 1),
    xy = a⁴ + a² + 1.
Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения  t² – 2(a² + 1)t + a⁴ + a² + 1 = 0;  решая его, находим  

Ответ

(a² + a + 1, a² – a + 1, a² + 1),   (a² – a + 1, a² + a + 1, a² + 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	1
Год	1935
вариант
Вариант	4
Тур	1
задача
Номер	1