Информация о задаче

Задача 78033

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A₁, B₁, C₁, D₁. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности.

Решение

Воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми:

$\displaystyle \angle$ (B₁A₁, A₁D₁)	= $\displaystyle \angle$ (B₁A₁, A₁A) + $\displaystyle \angle$ (AA₁, A₁D₁) =
	= $\displaystyle \angle$ (B₁B, BA) + $\displaystyle \angle$ (AD, DD₁),
$\displaystyle \angle$ (B₁C₁, C₁D₁)	= $\displaystyle \angle$ (B₁C₁, C₁C) + $\displaystyle \angle$ (CC₁, C₁D₁) =
	= $\displaystyle \angle$ (B₁B, BC) + $\displaystyle \angle$ (CD, DD₁).

Поэтому равенство $\angle$ (B₁A₁, A₁D₁) = $\angle$ (B₁C₁, C₁D₁) эквивалентно равенству $\angle$ (B₁B, BA) + $\angle$ (AD, DD₁) = $\angle$ (B₁B, BC) + $\angle$ (CD, DD₁). Последнее равенство следует из того, что $\angle$ (AB, BC) = $\angle$ (AD, DC), $\angle$ (AB, BC) = $\angle$ (AB, BB₁) + $\angle$ (BB₁, BC) и $\angle$ (AD, DC) = $\angle$ (AD, DD₁) + $\angle$ (DD₁, DC).

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	18
Год	1955
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5