Информация о задаче

Задача 78139

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника — S. Доказать, что S $\le$ 17, 5.

Решение

Для каждой из четырёх данных проекций многоугольника рассмотрим полосу, состоящую из точек, которые проецируются на данную проекцию. Каждая граница такой полосы пересекает все остальные полосы, поскольку иначе проекция многоугольника была бы меньше, чем нужно. Поэтому данный многоугольник лежит внутри фигуры, которая получается при отрезании от прямоугольника размером 4×5 треугольников со сторонами a, 3 - a, b и 1 - b. Сумма площадей отрезанных треугольников равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 - a)² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (1 - b)² = (a - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ )² + $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{4}}$ + (b - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ )² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{4}}$ = 2, 5.

Поэтому площадь фигуры не превосходит 20 - 2, 5 = 17, 5.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	5