Задача 78141

Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Доказать, что если  |ax² – bx + c| < 1  при любом x из отрезка  [–1, 1],  то и  |(a + b)x² + c| < 1  на этом отрезке.

Решение

Пусть  f(x) = ax² – bx + c,  g(x) = (a + b)x² + c.  Так как парабола  y = g(x)  симметрична относительно оси ординат, достаточно проверить, что g(0) и g(1) по модулю меньше единицы. Но это следует из условия:  g(0) = f(0),  g(1) = f(–1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	21
Год	1958
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	2