ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78236
Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

  Пусть кто-то из собравшихся – назовём его X – имеет m знакомых: a1, a2, ..., am. По условию, никакие два человека из a1, a2, ..., am друг с другом не знакомы. Значит, для каждых двух человек ai, aj должен найтись ещё один общий знакомый кроме X. Этот человек не знаком с X; при этом разным парам  (ai, aj)  должны соответствовать разные люди (если бы один и тот же человек был общим знакомым одновременно для двух таких пар, то он имел бы с X более двух общих знакомых). Мы видим, что число всех людей, не знакомых с X, не меньше, чем число  ½ m(m – 1)  пар из людей a1, a2, ..., am.
  С другой стороны, каждый человек, не знакомый с X, имеет с ним ровно двух общих знакомых – разумеется, из числа a1, a2, ..., am. При этом разным людям соответствуют разные пары. Таким образом, число людей, не знакомых с X, не больше, чем  ½ m(m – 1).  Следовательно,  n = 1 + m +  ½ m(m – 1).  Мы получили квадратное уравнение относительно m. Легко видеть, что оно имеет только один положительный корень, а это и означает, что каждый имеет одинаковое число знакомых.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

Видно, что не при всех n условия задачи могут выполняться. Как минимум, n должно иметь вид  ½ m(m – 1) + 1.  Но m тоже не может быть произвольным: нетрудно убедиться, что, например, при  m = 3,  n = 7  условия задачи выполнить невозможно.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М76
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 23
Год 1960
вариант
1
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .