ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79286
Темы:    [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц А.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

Решение

Ответ: такая последовательность существует. Объясним коротко, как её построить. Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую следующими свойствами:

  1. все попарные разности между членами этой последовательности различны;
  2. числа 1, 2, ..., k можно представить в виде разности двух её членов.
  3. число k + 1 нельзя представить в виде разности двух её членов.
Пусть максимальный член этой последовательности равен M. "Допишем" теперь эту последовательность: добавим к ней числа 2M и 2M + k + 1. Проверьте сами, что новая последовательность удовлетворяет свойствам 1, 2 (с заменой k на k + i, где i — некоторое натуральное число, зависящее от первоначально построенной последовательности, i ≥ 1) и свойству 3 (с заменой числа k + 1 на число k + i + 1). Применяя описанное "дописывание", например, к числам 1, 2, получим бесконечную последовательность, удовлетворяющую условиям задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 1
журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 10
Задача
Номер М287

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .