Задача 79286

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Лифшиц А.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

Решение

Ответ: такая последовательность существует. Объясним коротко, как её построить. Предположим, что мы построили конечную последовательность, обладающую следующими свойствами:

1. все попарные разности между членами этой последовательности различны;
2. числа 1, 2, ..., k можно представить в виде разности двух её членов.
3. число k + 1 нельзя представить в виде разности двух её членов.

Пусть максимальный член этой последовательности равен M. "Допишем" теперь эту последовательность: добавим к ней числа 2M и 2M + k + 1. Проверьте сами, что новая последовательность удовлетворяет свойствам 1, 2 (с заменой k на k + i, где i — некоторое натуральное число, зависящее от первоначально построенной последовательности, i ≥ 1) и свойству 3 (с заменой числа k + 1 на число k + i + 1). Применяя описанное "дописывание", например, к числам 1, 2, получим бесконечную последовательность, удовлетворяющую условиям задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	10
Тур	2
задача
Номер	1
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	10
Задача
Номер	М287